Definición y Clasificación

¿Que son las ecuaciones diferenciales?
Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una función desconocida con respecto a una o más variables independientes.

                                          

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Dependiendo de la cantidad de variables independientes, respecto de las que se deriva:

Ordinarias: Una solo variable independiente.

Parciales: Dos o mas variables independientes.

POR ORDEN

El orden de la derivada mayor que existe en la Ecuación Diferencial, entiéndase por orden a la cantidad de veces que se deriva una función  ejemplo:

 el orden es 3 puesto que la mayor de las derivadas es y“`.

POR GRADO

Es el grado de la derivada de mayor orden que existe en la ecuacion diferencial. Entiéndase por grado la potencia a la que esta elevada la derivada. ejemplo:

el grado de esta ecuación es 2 ya que y“` esta elevada ala segunda potencia.

LINEALIDAD

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si la variable dependiente y sus derivadas son de grado 1 y que estas no aparezcan como argumento ni como coeficiente.

Homogeneidad en ecuaciones diferenciales

  Sea la función  Z = ƒ(x, y), se dice que es homogénea de grado "n" si se 

            verifica que f( tx, ty) = tⁿ f( x, y) ; siendo "n"  un número real. En muchos casos se  puede  identificar el grado de homogeneidad de la función, analizando el grado de cada término.

Ejemplo

f( x ,y) = x² y² + 5x³ y - y 4, aplicando la definición se tiene:

f( tx,  ty) =  (tx)²  ( ty)²  + 5 (tx)³ (ty) - ( ty )4

f( tx,  ty) =  t4  x² y² + 5 t4 x³ y - t4 y4

f(tx, ty ) = t4 (x2 y2  + 5x3 y - y4 )

f( tx,  ty) =  t4   f ( x, y)

                        Por lo tanto la función es homogénea de grado 4